formelsammlung

Formeln/Gesetze §

Binomische Formeln §

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^2& =a^2+2ab+b^2\\ (a-b{)}^2& =a^2-2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\\ (a-b{)}^3& =a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\\ (a+b{)}^4& =a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a-b{)}^4& =a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\\ (a-b{)}^5& =a^5-5a^{4}b+10a^3{b}^2-10a^2{b}^3+5a{b}^4-b^5\\ (a+b{)}^6& =a^6+6a^{5}b+15a^4{b}^2+20a^3{b}^3+15a^2{b}^4+6a{b}^5+b^6\\ (a-b{)}^6& =a^6-6a^{5}b+15a^4{b}^2-20a^3{b}^3+15a^2{b}^4-6a{b}^5+b^6\end{array}$$

Mitternachtsformel §

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Potenzgesetze §

$$\begin{array}{c}\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\\ x^a\cdot x^b=x^{a+b}\\ x^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}\\ (x^a{)}^b=x^{a\cdot b}\end{array}$$

Wertetabelle §

$x$	$x!$	$2^x$
0	1	1
1	1	2
2	2	4
3	6	8
4	24	16
5	120	32
6	720	64
7	5 040	128
8	40 320	256
9	362 880	512
10	3 628 800	1024
11	39 916 800	2048
12	479 001 600	4096
13	6 227 020 800	8192

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv §

Eigenschaft	Folgerung
Injektiv	$\forall f(x)=y:y$ hat höchstens einen Wert
Surjektiv	$\forall f(x)=y:y$ hat mindestens einen Wert
Bijektiv	$\forall f(x)=y:y$ hat genau einen Wert

Ableitungen §

$$x^x\to x^x\cdot (\ln x+1)\to x^x\cdot \left(\frac{1}{x}+(\ln x+1{)}^2\right)$$

$$x\ln x\to \ln x+1\to \frac{1}{x}\to -x^{-2}\to 2x^{-3}\to -6x^{-4}$$

$$\frac{8}{105}{x}^{\frac{7}{2}}\to \frac{4}{15}{x}^{\frac{5}{2}}\to \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\to \sqrt{x}\to \frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\to -\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{2}}\to \frac{3}{8}{x}^{-\frac{5}{2}}\to \frac{15}{16}{x}^{-\frac{7}{2}}$$

$$\frac{1}{720}{x}^6\to \frac{1}{120}{x}^5\to \frac{1}{24}{x}^4\to \frac{1}{6}{x}^3\to \frac{1}{2}{x}^2\to x\to 1\to 0$$

$$e^{-x}\to -e^{-x}\to e^{-x}\to \dots$$

$$\frac{1}{k^3}{e}^{kx}\to \frac{1}{k^2}{e}^{kx}\to \frac{1}{k}{e}^{kx}\to e^{kx}\to k{e}^{kx}\to k^2{e}^{kx}\to k^3{e}^{kx}$$

Geradengleichung §

$$y=m\cdot (x-\Delta x)+\Delta y$$

Geometrie §

Figur	Fläche A	Umfang U
Kreis	$\pi r^2$	$2\pi r$
Kreisring	$\pi (R^2-r^2)$	$2\pi (R+r)$

Körper	Volumen V	Oberfläche O
Kugel	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi r^2$
Zylinder	$\pi r^{2}h$	$2\pi r\cdot (r+h)$
Hohlzylinder	$\pi R^{2}h-\pi r^{2}h$	$2\pi ((R+r)h+R^2-r^2)$

Arithm. und Geom. Mittel §

Allgemeines arithmetisches Mittel:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\cdot \sum _{k=0}^n{a}_k$$

Allgemeines geometrisches Mittel:

$$\overline{X}=\sqrt[n]{\prod _{k=0}^n{a}_k}$$

Dreieckszahl §

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

Logarithmische Integration §

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$$

Gauß-Verfahren §

1. Die am weitesten links stehende von 0 verschiedene Spalte ist die Pivot-Spalte
2. Pivot-Element in dieser Spalte wählen und nach oben vertauschen
3. Ersetze Zahlen unter Pivot-Element mit Nullen
4. Decke oberste Zeile zu, führe Schritt 1-3 mit übriger Matrix durch
5. Pivot-Elemente von rechts nach links durch skalieren auf 1 bringen
6. Erzeuge Nullen über den Pivot-Elementen

• Ersetzen: Die Zeile wird mit einem Vielfachen einer anderen Zeile summiert.
• Skalieren: Die Zeile wird mit einem Faktor multipliziert
• Vertauschen: Zwei Zeilen werden vertauscht