aufgabe 2b

$${\left({\int }_0^x\frac{\sin t}{t}dt\right)}^{\prime }$$

• Ein Integral ${\int }_a^{b}f(x)dx$ ist $F(b)-F(a)$.
• Die Ableitung eines Integrals ist $f(x)$.

5.7 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

• Die Ableitung des Integrals ist auf $D=[0;\infty [$ definiert.

Antwort §

$$F^{\prime }(x)=\frac{\sin x}{x}$$

Begründung §

Die Ableitung eines Integrals ${\int }_a^{b}f(x)dx$ ist nach dem HDI (5.7) die Funktion $f(x)$. Man kann auch die Ableitung als $F^{\prime }(t)=\frac{\sin t}{t}$ definieren, das ist äquivalent. Die Übrigen 2 Optionen wären die zweite Ableitung des Integrals. Man braucht keine feste obere Grenze $x$, um den Integral abzuleiten.

Alternativ §

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{\int }_0^x\frac{\sin t}{t}dt& =\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}g(t)dt\\ & =\frac{d}{dx}{\int }_0^x{G}^{\prime }(t)dt\\ & =\frac{d}{dx}[G(t){]}_0^x\\ & =\frac{d}{dx}(G(x)-G(0))\\ & =\frac{d}{dx}G(x)-\frac{d}{dx}G(0)\\ & =\frac{d}{dx}G(x)-0\\ & =g(x)\\ & =\frac{\sin x}{x}\end{array}$$

Woher weiß ich, dass ich nach x ableite und nicht nach t?