b

$$g(x)=\{\begin{array}{rlr}& \cos (x+2)-1& \text{fu¨r }x\le -2\\ & -(x+2{)}^2+1& \text{fu¨r }x>-2\end{array}$$

x0 §

$$x_0=-2$$

Stetigkeit in $x_0$ §

Linksseitiger Grenzwert §

$$\begin{array}{rl}\underset{x\nearrow x_0}{\lim }g(x)& =\underset{x\nearrow -2}{\lim }\cos (x+2)-1\\ & =-1+\underset{ϵ\searrow 0}{\lim }\cos (-2-ϵ+2)\\ & =-1+\underset{ϵ\searrow 0}{\lim }\cos (-ϵ)\\ & =-1+1\\ & =\underline{0}\end{array}$$

Rechtsseitiger Grenzwert §

$$\begin{array}{rl}\underset{x\searrow x_0}{\lim }g(x)& =\underset{x\searrow -2}{\lim }-(x+2{)}^2+1\\ & =1+\underset{ϵ\searrow 0}{\lim }-(-2+ϵ+2)\\ & =1-\underset{ϵ\searrow 0}{\lim }ϵ\\ & =\underline{1}\end{array}$$

Antwort §

$$\underset{x\nearrow x_0}{\lim }g(x)\ne \underset{x\searrow x_0}{\lim }g(x)⟹g(x)\text{ ist nicht stetig.}$$

Richtig