aufgabe 1b

$$f(x)=x^3+2x-1$$

Ableitung der Umkehrfunktion in 2 §

Gesucht ist ${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(2)$

4.9 Umkehrfunktion

$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y_0))}=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$$

$$\begin{array}{rl}{\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(2)& =\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(2))}\end{array}$$

Was ist $f^{-1}(2)$?

4.9 Umkehrfunktion

$$\begin{array}{ccc}{f}^{-1}(f(x))=x& & f(f^{-1}(y))=y\\ f^{-1}(y)=x& & f(x)=y\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}f(x)& =2\\ x^3+2x-1& =2\\ x& =1\end{array}$$

$⟹f^{-1}(2)=1$

$$\begin{array}{rl}\left(f^{-1}\right)(2)& =\frac{1}{f^{\prime }(1)}\\ & =\frac{1}{3+2}\\ & =\underline{\frac{1}{5}}\end{array}$$