aufgabe 2

Zu zeigen §

$$\forall x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]:\sin (x)+\cos (x)\le \sqrt{2}$$

Beweis §

Finde das globale Maximum in $f(x)=\sin x+\cos x$ mit $D=\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

1 Funktion bestimmen §

gegeben.

2 Variablen eliminieren §

gegeben.

3 Definitionsbereich angeben §

gegeben.

4 Funktion ableiten §

$$f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x$$

5 Nullstellen der Ableitung §

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ \cos x-\sin x& =0\\ \cos x& =\sin x\\ \cos x& =\cos (x-\frac{\pi }{2})\\ x& =x-\frac{\pi }{2}\\ 0& =-\frac{\pi }{2}\text{⚡}\end{array}$$

$⟹f^{\prime }$ hat keine Nullstellen

Falsch

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ \cos x-\sin x& =0\\ \cos x& =\sin x\\ \frac{\cos x}{\cos x}& =\frac{\sin x}{\cos x}\\ 1& =\tan x\\ \arctan 1& =x\\ \underline{\frac{\pi }{4}}& =x\end{array}$$

$⟹$ es gibt einen Extrempunkt oder Terassenpunkt in $x=\frac{\pi }{4}$.

Richtig

6 Liegt im Definitionsbereich? §

$$\frac{\pi }{4}\in D=\left[0;\frac{\pi }{2}\right]✓$$

7 Bestimmung des globalen Maximums §

es kommen in frage:

• $x_0=\frac{\pi }{4}$
• $x_0=0$
• $x_0=\frac{\pi }{2}$

$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$$

$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}+\cos \frac{\pi }{2}=1$$

$$f(0)=\sin 0+\cos 0=1$$

$⟹$ $x_0=\frac{\pi }{4}$ ist ein globales strenges Maximum in $D$.

4.21, 4.22 Extrema

• Relativ/Lokal: $\forall x\in {\mathcal{U}}_{\delta }$
  • Generell: $f(x_0)\ge f(x)$
  • Streng/Isoliert: $f(x_0)>f(x)$
• Global/Isoliert: $\forall x\in D$
  • Generell: $f(x_0)\ge f(x)$
  • Streng/Isoliert: Gibt es das?

8 Antwortsatz §

da $x_0=\frac{\pi }{2}$ das globale Maximum in $D$ ist, gibt es kein $x\in D$, das größer als $x_0$ ist. Es gilt also für alle $x\in D$, dass $f(x)\le x_0=\sqrt{2}$. $■$