a

$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \sin (x-3)+4& \text{fu¨r }x\le 3\\ & (x-2{)}^3+3& \text{fu¨r }x>3\end{array}$$

x_0 §

$$x_0=3$$

Stetigkeit in $x_0$ §

Für $x\le 3$ §

$$f(x_0)=\sin (x_0-3)+4=\sin (3-3)+4=\underline{4}$$

Korrektur

Nich $f(x_0)$ berechnen, sondern ${\lim }_{x\nearrow x_0}f(x)$

Für $x>3$ §

$$\begin{array}{rl}\underset{x\nearrow x_0}{\lim }(x-2{)}^3+3& =\underset{x\nearrow 3}{\lim }(x-2{)}^3+3\\ & =3+\underset{ϵ\searrow 0}{\lim }((3-ϵ)-2{)}^3\\ & =3+{\left(\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3-\frac{1}{n}-2\right)\right)}^3\\ & =3+{\left(3-2-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\right)}^3\\ & =3+(3-2{)}^3\\ & =\underline{4}\\ & =f(x_0)\end{array}$$

Gilt auch für ${\lim }_{x\searrow x_0}$.

Korrektur

Nicht ${\lim }_{x\nearrow x_0}f(x)$ berechnen, sonder ${\lim }_{x\searrow x_0}f(x)$.

Antwort §

$f(x)$ ist in $x_0=3$ stetig, da ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

Falsche Begründung

Richtig wäre: $f(x)$ ist in $x_0=3$ stetig, da der linksseitige Grenzwert ${\lim }_{x\nearrow x_0}f(x)$ gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ${\lim }_{x\searrow x_0}f(x)$ ist (=4).