aufgabe 3

Gegeben §

• Rechteck: $h\cdot b$
• Dreieck: $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10$

Bearbeitung §

Wir stellen die Fläche des Rechtecks als Funktion in abhängigkeit der Breite des Rechtecks auf:

$$\begin{array}{c}{A}_{\square }=\underset{=f(x)}{\underbrace{h}}\cdot \underset{=x}{\underbrace{b}}\\ ⟹A_{\square }(x)=f(x)\cdot x\end{array}$$

Betrachten wir das Dreieck als die Fläche unter einer Geraden im 1. Quadranten des Koordinatensystems, so ist diese Gerade definiert als:

$$f(x)=-\frac{5}{10}x+5$$

Die Funktion, die die Fläche des Rechtecks in Abhängigkeit der Breite $x\in \left]0,10\right[$ beschreibt, lautet also:

$$A_{\square }(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+5x$$

Die Extremwerte dieser Funktion sind die Nullstellen der Ableitung.

$$\begin{array}{rl}{A}_{\square }^{\prime }(x)& =0\\ -x+5& =0\\ -x& =-5\\ x& =5\end{array}$$

Die maximale Fläche ist im Extremwert $x=5$.

$$\begin{array}{rl}{A}_{\square }(5)& =-\frac{1}{2}\cdot 5^2+5\cdot 5\\ & =25-\frac{25}{2}\\ & =12.5\end{array}$$

Aus den obigen Definitionen $b=x$ und $h=f(x)$ ergibt sich:

$$b=x=\boxed{5}$$

$$h=f(x)=f(5)=-\frac{1}{2}\cdot 5+5=\boxed{2.5}$$