aufgabe 2d

$$f_4(x)=\ln \left(\frac{x^3}{\ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)}\right)$$

Ableitung §

$$\begin{array}{rl}{f}_4^{\prime }(x)& ={\left(\frac{x^3}{\ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)}\right)}^{-1}\cdot \frac{(x^3{)}^{\prime }\cdot \ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)-x^3\cdot {\left(\ln \frac{x^3}{\ln x}\right)}^{\prime }}{{\ln }^2\left(\frac{x^3}{\ln x}\right)}\\ & =\frac{\ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)}{x^3}\cdot \frac{3x^2\cdot \ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)-x^3\cdot {\left(\frac{x^3}{\ln x}\right)}^{-1}\cdot {\left(\frac{x^3}{\ln x}\right)}^{\prime }}{{\ln }^2\left(\frac{x^3}{\ln x}\right)}\\ & =\frac{\ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)\cdot 3x^2\cdot \ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)-\ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)\cdot x^3\cdot \frac{\ln x}{x^3}\cdot \frac{(x^3{)}^{\prime }\cdot \ln x-x^3\cdot (\ln x{)}^{\prime }}{{\ln }^{2}x}}{x^3\cdot {\ln }^2\left(\frac{x^3}{\ln x}\right)}\\ & =\frac{3x^2}{x^3}-\frac{\ln x}{x^3\ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)}\cdot \frac{3x^2\cdot \ln x-x^3\cdot \frac{1}{x}}{{\ln }^{2}x}\\ & =\frac{3}{x}-\frac{\ln x\cdot \left(3x^2\cdot \ln x-x^2\right)}{x^3\ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right){\ln }^{2}x}\\ & =\frac{3}{x}-\frac{3x^2\cdot \ln x-x^2}{x^3\ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)\ln x}\\ & =\frac{3}{x}-\frac{3\ln x-1}{x\ln \left(\frac{x^3}{\ln x}\right)\ln x}\\ & =\frac{3}{x}-\frac{3\ln x-1}{x\ln x\left(3\ln x-\ln \ln x\right)}\end{array}$$

Beachte

• Summen/Differenzen in Brüchen $\to$ nicht einfach zusammenführen
• Einfacher wäre: f und g als Nenner und Zähler definieren und erst später einsetzen
• $\lambda ab-a\ne (\lambda -1)ab$
• Bruch-Logarithmus vereinfachen

4.13 Eigenschaften des Logarithmus

$$\begin{array}{c}\ln (xy)=\ln x+\ln y\\ \ln \frac{1}{x}=-\ln x\\ \ln x^r=r\ln x\end{array}$$