b

Folge Fördermenge §

$$\begin{array}{c}{a}_1:=250\cdot 10^6\\ a_{n+1}:=a_n\cdot 0.98\\ ⟺\\ a_n:=250\cdot 10^6\cdot 0.98^{n-1}\end{array}$$

Reihe Verbrauch über $n$ Jahre §

\begin{alignat*}{2} &\qquad& 13 \cdot 10^9 - \sum_{k=1}^{n} \Big( 250 \cdot 10^6 \cdot 0.98^{k-1} \Big) &= 0 \\ &\iff& 13 \cdot 10^9 - \sum_{\colorbox{yellow}{$k=0$}}^{\colorbox{yellow}{$n-1$}} \Big( 250 \cdot 10^6 \cdot 0.98^\colorbox{yellow}{$k$} \Big) &= 0 \\ &\iff& \sum_{k=0}^{n-1} \Big( 250 \cdot 10^6 \cdot 0.98^k \Big) &= \colorbox{yellow}{$13 \cdot 10^9$} \\ &\iff& \sum_{k=0}^{n-1} 0.98^k &= \frac{13 \cdot 10^9}{\colorbox{yellow}{$250 \cdot 10^6$}} \\ &\stackrel{2.9}{\iff}& \colorbox{yellow}{$\frac{1 - 0.98^n}{1-0.98}$} &= \frac{1300}{25} \\ &\iff& 1-0.98^n &= \frac{1300 \colorbox{yellow}{$\cdot 0.02$}}{25} \\ &\iff& -0.98^n &= \frac{26}{25} \colorbox{yellow}{$- 1$} \\ &\iff& 0.98^n &= 1 - \frac{26}{25} \\ &\iff& 0.98^n &= -\frac{1}{25} \\ &\iff& \log_{0.98} 0.98^n &= \underbrace{\log_{0.98} -\frac{1}{25}}_\text{nicht definiert} \end{alignat*}

$$⟹\text{Die Reserven werden nie erscho¨pft sein.}$$

Alternativ: Unendliche Reihe ($n=\infty$) §

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\infty }250\cdot 10^6\cdot 0.98^k& =250\cdot 10^6\cdot \sum _{k=0}^{\infty }0.98^k\\ & =250\cdot 10^6\cdot \frac{1}{1-0.98}\\ & =250\cdot 10^6\cdot 50\\ & =12.5\cdot 10^9\\ & <13\cdot 10^9\end{array}$$

$$⟹\text{Die Reserven werden nie erscho¨pft sein.}$$

Richtig