aufgabe 1c

$$f(x)=x^3+2x-1$$

Zweite Ableitung der Umkehrfunktion §

Gesucht ist ${\left(f^{-1}\right)}^{\prime \prime }$.

4.9 Umkehrfunktion

$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$$

$$\begin{array}{rl}{\left(f^{-1}\right)}^{\prime \prime }(y_0)& ={\left(\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y_0))}\right)}^{\prime }\\ & =-\frac{\left(f^{\prime }\right(f^{-1}(y_0)){)}^{\prime }}{\left(f^{\prime }\right(f^{-1}(y_0)){)}^2}\\ & =-\frac{f^{\prime \prime }(f^{-1}(y_0))\cdot (f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)}{\left(f^{\prime }\right(f^{-1}(y_0)){)}^2}\\ & =-\frac{f^{\prime \prime }(f^{-1}(y_0))\cdot \frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y_0))}}{\left(f^{\prime }\right(f^{-1}(y_0)){)}^2}\\ & =\boxed{-\frac{f^{\prime \prime }(f^{-1}(y_0))}{\left(f^{\prime }\right(f^{-1}(y_0)){)}^3}}\end{array}$$

In 2 §

Gesucht ist ${\left(f^{-1}\right)}^{\prime \prime }(2)$.

Ableitung von f

$$\begin{array}{ccc}{f}^{\prime }(x)=3x^2+2& & f^{\prime \prime }(x)=6x\end{array}$$

x und y

Wir wissen aus aufgabe 1b, dass $f(1)=2⟺f^{-1}(2)=1$.

$$\begin{array}{rl}{\left(f^{-1}\right)}^{\prime \prime }(2)& =-\frac{f^{\prime \prime }(f^{-1}(2))}{\left(f^{\prime }\right(f^{-1}(2)){)}^3}\\ & =-\frac{f^{\prime \prime }(1)}{(f^{\prime }(1){)}^3}\\ & =-\frac{6}{(3+2{)}^3}\\ & =\boxed{-\frac{6}{125}}\end{array}$$