aufgabe 3

4.5 Taylor-Entwicklung

$$T_n(f,x_0,x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$$

$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

$$f(x)=T_n(f,x_0,x)+R_{n+1}(x)$$

Ableitung von exp(x) §

$$\begin{array}{c}f(x)=e^x\\ f^{(k)}(x)=e^x\end{array}$$

Taylorpolynom von exp(x) §

$$\begin{array}{rl}{T}_n(\exp (x),0,x)& =\sum _{k=0}^n\frac{\exp (0)}{k!}{x}^k\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\end{array}$$

Versuch: 7tes Taylorpolynom §

$$\begin{array}{rl}{T}_7(\exp (x),0,x)& =\sum _{k=0}^7\frac{x^k}{k!}\\ & =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^6}{720}+\frac{x^7}{5040}\end{array}$$

Abweichung prüfen §

4.6 Vorgehen beim lösen von Extremwertproblemen

1. Hauptfunktion aufstellen ($d(x)$)
2. Hauptfunktion darf nur von einer Variable abhängen
3. Definitionsbereich angeben
4. Hauptfunktion ableiten ($\frac{dd}{dx}$)
5. Nullstellen der Ableitung bestimmen
6. Nur Nullstellen im Definitionsbereich berücksichtigen
7. Randpunkte beachten
8. Antwortsatz

Die Abweichung des Taylorpolynoms zur Exponentialfunktion sei definiert als:

$$d(x)=\exp (x)-T_7(\exp (x),0,x)$$

Maximiere $d(x)$ in $x\in [0;1]$:

$$\begin{array}{rl}\frac{dd}{dx}& =0\\ e^x-T_7^{\prime }(e^x,0,x)& =0\\ e^x-\sum _{k=0}^6\frac{x^k}{k!}& =0\\ x& =0\end{array}$$

$$\begin{array}{c}d(0)=e^0-1=0\\ d(1)=e-\sum _{k=0}^6\frac{1}{k!}\approx 0.0002>5\cdot 10^{-5}\end{array}$$

$⟹$ Die Abweichung ist zu groß.

Versuch: n rechnerisch ermitteln §

$$e^x=\underset{T_n}{\underbrace{\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}}}+\underset{R_{n+1}}{\underbrace{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \exp (\xi )}}$$

$$\begin{array}{c}\xi \in [0,1]⟹\exp (\xi )\in [1,e]\\ x\in [0,1]\end{array}$$

Wir wollen, dass $R_{n+1}$ für alle $\xi$ kleiner gleich $5\cdot 10^{-5}$ ist. Das ist immer erfüllt, wenn wir von $\xi =1$ und $x=1$ ausgehen, da damit die Faktoren $\exp (\xi )$ und $x^{n+1}$ maximal sind.

$$\begin{array}{rl}{R}_{n+1}(x)& \le 5\cdot 10^{-5}\\ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \exp (\xi )& \le 5\cdot 10^{-5}\\ \frac{1}{(n+1)!}\cdot e& \le 5\cdot 10^{-5}\\ \frac{1}{(n+1)!}& \le \frac{5\cdot 10^{-5}}{e}\\ (n+1)!& \ge \frac{e}{5\cdot 10^{-5}}\approx 54365.6\end{array}$$

x	x!
8	40 320
9	362 880

$$\begin{array}{c}(7+1)!<\frac{e}{5\cdot 10^{-5}}<(8+1)!\\ ⟹n=8\end{array}$$

Das 8te Taylorpolynom hat also ein Restglied, das kleiner als $5\cdot 10^{-5}$ ist.

$$T_8(e^x,0,x)=\sum _{k=0}^8\frac{x^k}{k!}$$