b

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (n)}{n^2}$$

Notwendiges Kriterium §

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin (n)}{n^2}=0\text{, weil }{\mathbb{D}}_{\sin (n)}=[-1,1]$$

Quotientenkriterium §

$$\begin{array}{rl}q& =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\frac{\sin (n+1)}{(n+1{)}^2}}{\frac{\sin (n)}{n^2}}\right|\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\sin (n+1)}{(n+1{)}^2}\cdot \frac{n^2}{\sin (n)}\right|\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\sin (n+1)\cdot n^2}{(n+1{)}^2\cdot \sin (n)}\right|\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{n^2\cdot (\sin (n)\cdot \cos (1)+\cos (n)\cdot \sin (1))}{(n^2+2n+1)\cdot \sin (n)}\right|\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{n^2\cdot (\sin (n)\cdot \cos (1)+\cos (n)\cdot \sin (1))}{\sin (n)\cdot n^2+\sin (n)\cdot 2n+\sin (n)\cdot 1}\right|\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{n^2\cdot (\sin (n)\cdot \cos (1)+\cos (n)\cdot \sin (1))}{n^2\cdot (\sin (n)+\frac{\sin (n)\cdot 2}{n}+\frac{\sin (n)}{n})}\right|\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\sin (n)\cdot \cos (1)+\cos (n)\cdot \sin (1)}{\sin (n)+\frac{\sin (n)\cdot 2}{n}+\frac{\sin (n)}{n}}\right|\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\sin (n)\cdot \cos (1)+\cos (n)\cdot \sin (1)}{\sin (n)}\right|\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\cos (1)+\sin (1)\cdot \frac{\cos (n)}{\sin (n)}\right|\\ & =\cos (1)+\sin (1)\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\cos (n)}{\sin (n)}\right|\\ & =\cos (1)+\sin (1)\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\left|\tan (n)\right|\end{array}$$

$$\begin{array}{c}⟹q\text{ existiert nicht.}\\ ⟹\text{Keine Aussage u¨ber Konvergenz/Divergenz.}\end{array}$$

Frage

• Erhält man für eine Folge $a_n$ immer die gleichen Werte $w=q$?
• Lohnt es sich, das Wurzelkriterium anzuwenden, wenn das Quotientenkriterium kein $q$ bzw. $q=1$ liefert? (und andersherum)

Majoranten-Kriterium §

$$\begin{array}{c}{A}_k=\frac{\sin (k)}{k^2}\\ B_k:=\frac{1}{k^2}\end{array}$$

z.z.: $|A_k|\le B_k$ §

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin (k)}{k^2}& \le \frac{1}{k^2}\\ \sin (k)& \le 1✓\text{da}D=[-1,1]\end{array}$$

z.z.: ${\sum }_{k=1}^{\infty }{B}_k$ konvergent §

${\sum }_{k=1}^{\infty }{B}_k$ ist die verallgemeinerte harmonische Reihe mit $a>1$ $⟹$ $B_k$ ist konvergent

Antwort §

$$⟹\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (k)}{k^2}\text{ist konvergent.}$$