a

$$\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n})\cdot x^n$$

Formeln §

Potenzreihe §

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$$

Quotientenmethode §

$$q=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,r=\frac{1}{q}$$

Wurzelmethode §

$$w=\sqrt[n]{\left|a_n\right|},r=\frac{1}{w}$$

Versuch 1 §

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n})\cdot x^n\\ & =(\frac{3^n}{3^n}\cdot \frac{1}{2^n}+\frac{2^n}{2^n}\cdot \frac{1}{3^n})\cdot x^n\\ & =\left(\frac{3^n+2^n}{3^n\cdot 2^n}\right)\cdot x^n\\ & =\frac{3^n+2^n}{5^n}\cdot x^n\\ & =(\frac{(3^n+2^n{)}^{\frac{1}{n}}}{5}{)}^n\cdot x^n\end{array}$$

Falsch

Richtig wäre $a_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}$

Wurzelmethode §

$$\begin{array}{rl}w& =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\left|(\frac{(3^n+2^n{)}^{\frac{1}{n}}}{5}\cdot x{)}^n\right|}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{(\frac{(3^n+2^n{)}^{\frac{1}{n}}}{5}\cdot x{)}^n}\\ & \stackrel{!}{=}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(3^n+2^n{)}^{\frac{1}{n}}}{5}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{3^n+2^n}}{5}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{3^n\cdot (1+(\frac{2}{3}{)}^n)}}{5}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3\cdot \sqrt[n]{1+\underset{\to 0}{\underbrace{(\frac{2}{3}{)}^n}}}}{5}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3\cdot \sqrt[n]{1}}{5}=\frac{3}{5}\end{array}$$

$$⟹r=\frac{5}{3}$$

Falsch

• Folgefehler, $a_n\ne (\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n})\cdot x^n$
• Bei (!) vergessen, x mitzunehmen

Versuch 2 §

$$\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n})\cdot x^n=\sum _{n=0}^{\infty }\underset{a_n}{\underbrace{(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n})}}\cdot (x-\underset{x_0}{\underbrace{0}}{)}^n$$

Wurzelmethode §

$$\begin{array}{rl}w& =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\left|2^{-n}+3^{-n}\right|}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2^{-n}+3^{-n}}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2^{-n}\cdot (1+(\frac{3}{2}{)}^{-n})}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{(\frac{1}{2}{)}^n\cdot (1+\left(\frac{2}{3}{)}^n\right)}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}\cdot \sqrt[n]{1+(\frac{2}{3}{)}^n}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1}\\ & =\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}\end{array}$$

$$⟹r=\frac{1}{w}=2$$

Richtig

Frage

Ist das weglassen der Betragstriche hier erlaubt? (Begründung: mit $n\in \mathbb{N}$ kann die Summe nicht negativ sein)

Frage

Kann man hier nicht auch auf $w=\frac{1}{3}$ kommen, wenn man anders ausklammert?

Antwort $(\frac{3}{2}{)}^n$ divergiert, ist also unbrauchbar

Nein, weil