a_{n} = (- 1)^{n} \cdot n + n^{2}

$a_{n}$ ist monoton wachsend. Beweis:

Induktionsanfang, n=1

a_{n} a_{1} (- 1)^{1} \cdot 1 + 1^{2} 0 \leq a_{n + 1} \leq a_{2} \leq (- 1)^{2} \cdot 2 + 2^{2} \leq 6 ✓

Induktionsschritt, n -> n+1

Wir setzen voraus, dass $a_{n} \leq a_{n + 1}$ (Induktionsvoraussetzung). Zu zeigen ist $a_{n + 1} \leq a_{n + 2}$ .

⟺ IV ⟺ ⟺ ⟺ ⟸ ⟺ a_{n + 1} a_{n} (- 1)^{n} \cdot n + n^{2} (- 1)^{n} \cdot n + n^{2} 000 \leq a_{n + 2} \leq a_{n + 2} \leq (- 1)^{n + 2} \cdot (n + 2) + (n + 2)^{2} \leq (- 1)^{n} \cdot n + 2 \cdot (- 1)^{n} + (n + 2)^{2} \leq \in {- 2; 2} 2 \cdot (- 1)^{n} + (n + 2)^{2} \leq - 2 + (n + 2)^{2} \leq n^{2} + 4 n + 2 ∣ - ((- 1)^{n} \cdot n)

Da $n \in N$ gilt die obige Aussage. $■$