f(x)=⎩⎨⎧x−22(x−1)2−21fu¨r x<2fu¨r x≥2
Untersuche auf Differenzierbarkeit §
x0=2
Stetigkeit in x0 §
f ist stetig in x0∈D, falls limx→x0f(x)=f(x0).
f(x0)=f(2)=0
Linksseitiger Grenzwert §
x↗x0limf(x)=x↗2limx−2=0
Rechtsseitiger Grenzwert §
x↘x0limf(x)=x↘2lim2(x−1)2−21=−21+21(x↘2limx−1)2=−21+21(1)2=0
Folgerung §
f(x0)=x→x0limf(x)=0⟹f ist stetig in x0.
Differenzierbarkeit in x0 §
f ist differenzierbar in x0∈D, falls f stetig ist und der Grenzwert f′(x) existiert.
Linksseitiger Grenzwert §
f′(x0)=x↗x0limx−x0f(x)−f(x0)=x↗2limx−2f(x)−f(2)=x↗2limx−2f(x)=ϵ↘0lim−ϵf(2−ϵ)=ϵ↘0lim−ϵ1⋅(2−ϵ−2)=ϵ↘0lim−ϵ1⋅(−ϵ)=1
Rechtsseitiger Grenzwert §
f′(x0)=x↘x0limx−x0f(x)−f(x0)=x↘2limx−2f(x)−f(2)=x↘2limx−2f(x)=ϵ↘0limϵf(2+ϵ)=ϵ↘0limϵ1⋅(2(2+ϵ−1)2−21)=ϵ↘0limϵ1⋅(2(1+ϵ)2−1)=ϵ↘0limϵ1⋅(21+2ϵ+ϵ2−1)=ϵ↘0limϵ1⋅(22ϵ+ϵ2)=ϵ↘0limϵ1⋅(ϵ+2ϵ2)=ϵ↘0lim1+2ϵ=1
Folgerung §
f′(x0) existiert ⟹f ist differenzierbar in x0.
Antwort §
f ist in x0=2 differenzierbar. f hat in x0=2 einen Funktionswert von 0 und eine Steigung von 1.