aufgabe 2

Gegeben §

$$\begin{array}{c}{P}_0=(3,2)\\ P_1=(0,?)\\ P_2=(?,0)\\ m<0\end{array}$$

Geradengleichung §

Die Gerade g sei definiert als $g(x)=mx+t$.

$$\begin{array}{rlrl}& & y& =m\cdot x+t\\ ⟺& & 2& =m\cdot 3+t\\ ⟺& & t& =-3m+2\\ ⟺& & m& =\frac{2-t}{3}\end{array}$$

Dreiecksgleichung §

$$A=\frac{P_1^x\cdot P_2^y}{2}$$

$$\begin{array}{rl}{P}_2^y& =g(0)=m\cdot 0+t=t\\ P_1^x& =-\frac{t}{m}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}A(m)& =-\frac{t\cdot \frac{t}{m}}{2}\\ & =-\frac{t^2}{2m}\\ & =-\frac{(-3m+2{)}^2}{2m}\\ & =-\frac{4-12m+9m^2}{2m}\\ & =\frac{-4+12m-9m^2}{2m}\\ & =-2m^{-1}+6-\frac{9}{2}m\end{array}$$

Maximieren §

Hauptfunktion definieren §

$$A(m)=-2m^{-1}+6-\frac{9}{2}m$$

Definitionsbereich angeben §

$$D=\left]-\infty ;0\right[$$

Ableitung bestimmen §

$$A^{\prime }(m)=2m^{-2}-\frac{9}{2}$$

Nullstellen der Ableitung bestimmen §

$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }(m)& =0\\ 2m^{-2}-\frac{9}{2}& =0\\ \frac{2}{m^2}& =\frac{9}{2}\\ \frac{m^2}{2}& =\frac{2}{9}\\ m^2& =\frac{4}{9}\\ m& =\sqrt{\frac{4}{9}}\\ & =\pm \frac{2}{3}\end{array}$$

Definitionsbereich prüfen §

$-\frac{2}{3}\notin D⟹$ nur $\frac{2}{3}$ kommt in Frage.

Extremum oder Terassenpunkt? §

• $n=2$
• $x_0=\frac{2}{3}$

Es gilt $A^{\prime }(x_0)=0$ (siehe oben) und

$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime \prime }(x_0)& =-4x_0^{-3}\\ & =-4\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}\\ & =-4\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^3\\ & =-4\cdot \frac{9}{4}\\ & =-9\end{array}$$

$n$ ist gerade und $A^{(n)}(x_0)<0$, somit hat $A$ in $x_0$ ein lokales Maximum (4.25 i).

Antwort §

Das Dreieck hat bei einer Steigung $m=-\frac{2}{3}$ den minimalen Flächeninhalt mit $A\left(-\frac{2}{3}\right)=12$.

Beachte

• Minus vor Bruch $⟹$ Summen invertieren.
• Das Extremum muss nicht angenommen werden, siehe 4.25 Hinreichende Bedingung für Extremum