5.11 Substitutionsregel

$\int_{a}^{b} f (g (x)) \cdot g^{'} (x) = \int_{g (a)}^{g (b)} f (t) d t$
wobei $t = g (x)$ .

Ohne berücksichtigung der Grenzen

Ist das weglassen der Grenzen des Integrals erlaubt?

\int t e^{t^{2}} d t = \frac{1}{2} \int g^{'} (t) 2 t \cdot f (t) e^{t^{2} g (t)} d t = \dots

Substitution

$x = g (t) = t^{2}$

\dots = \frac{1}{2} \int e^{x} d x = \frac{1}{2} e^{x} + c

Rücksubstitution

$x = g (t) = t^{2}$

\dots = \underline{\frac{1}{2} e^{t^{2}} + c}

Unter Berücksichtigung der Grenzen

\int t e^{t^{2}} d t = ? \int_{a}^{b} t e^{t^{2}} d t = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} 2 t \cdot e^{t^{2}} d t = \frac{1}{2} \int_{g (a)}^{g (b)} e^{x} d t = \frac{1}{2} [e^{x}]_{g (a)}^{g (b)} = \frac{1}{2} (e^{g (b)} - e^{g (a)}) + \tilde{c} = \frac{1}{2} (e^{b^{2}} - e^{a^{2}}) + \tilde{c} = \frac{1}{2} e^{b^{2}} + c = ? \frac{1}{2} e^{t^{2}} + c (Substitution)

Sind der erste und letzte Schritt erlaubt?